Работу выполнила ученица 5 "Б" класса

Рожина Ксения

Руководитель: Шаймарданова Т.В.,

Учитель высшей квалификационной категории

ГОРОДСКОЙ КОНКУРС «НА КОРАБЛЕ ЗНАНИЙ -  В МИР НОВЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОТКРЫТИЙ»

Расчет оптимального числа взлетно-посадочных полос аэропорта города Казань

Введение.

Математика – это наука о математических моделях. Математические модели описываются математическим языком. На уроках математики мы изучаем математический язык.

Основное свойство каждой из моделей заключается в том, что она отражает самые существенные свойства своего оригинала. Математическая модель – это описание какого- либо реального процесса на языке математических понятий, формул и отношений. Решая математические сюжетные задачи из учебника с помощью уравнения, ученики строят математическую модель.

Первый этап математического моделирования – этап формализации – заключается в переводе условия задачи на математический язык. При этом выделяются необходимые для решения данные, посредством математических соотношений описываются связи между ними.

Второй этап – внутримодельное решение. На этом этапе модель выступает как самостоятельный объект исследования. Одной из форм такого исследования является проведение экспериментов, при которых изменяются условия функционирования модели и систематизируются данные о ее поведении.

Третий этап – интерпретация, то есть перевод полученного решения на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача.

Последний этап – анализ численных результатов и применение.

Любая математическая модель основана на упрощении, она не совпадает с конкретной реальной ситуацией, а является лишь ее приближенным описанием. Отсюда очевидна и некоторая погрешность результатов. Однако именно благодаря замене реального процесса соответствующей ему математической моделью, появляется возможность воспользоваться математическими методами для его изучения.

Ценность математического моделирования заключается еще и в том, что одна и та же модель может описывать разные ситуации, разные процессы реальной человеческой жизни. Исследовав одну модель, можно применить ее результаты в другой ситуации.

Познакомить с практическим применением математического моделирования можно уже

пятиклассников, организовав с ними исследовательскую работу «Расчет оптимального числа взлетно-посадочных полос аэропорта города Казань». Этот вопрос тем более актуален, так как 2007 год – год тысячелетия Елабуги, и на этот праздник будет приглашено большое количество гостей из России, ближнего и дальнего зарубежья.

Первый этап, этап формализации, можно провести вместе.

Дано:

N – число самолетов, взлетевших с аэродрома и приземлившихся на нем за сутки,

В – время, затраченное на выпуск или прием одного самолета .

Т – время работы аэропорта за сутки.

К - число взлетно – посадочных полос.

Рассчитаем количество самолетов, которое может приземлиться или взлететь на аэродроме за день. Для этого найдем отношение времени работы аэропорта ко времени обслуживания одного самолета, то есть Т/В. Число полос должно быть таким, чтобы они вместили  все самолеты, побывавшие на аэродроме за день.

Таким образом, К = N : (Т/В), где N и В – максимальные.

Мы получили математическую модель задачи.

Данные для решения поставленной задачи:

Расписание движения самолетов аэропорта города Казани с 26 марта  по 30 октября 2008 года.

По существующим нормам  самолет может занимать полосу от 30 секунд до 2 минут.

Изучая расписание движения самолетов, можно определить, что наибольшее количество самолетов, осуществляющих взлет и посадку в течение одних суток, приходится на среду и равно 42, время работы аэропорта за сутки 20 часов ( с 3ч до 23 ч).

Тогда  К = 42 : (20 /( 1/30)) = 7/100,        7/100 < 1, следовательно, для безопасной работы аэропорта достаточно одной взлетно – посадочной полосы.

Однако при более пристальном рассмотрении можно заметить, что в течение суток количество взлетающих и приземляющихся самолетов неравномерно. Построенная математическая модель очень упрощена.

Более точным окажется результат, если рассматривать количество самолетов не за сутки, а в течение каждого отдельно взятого часа каждый день недели.

Пусть N_i – число самолетов, вылетающих и приземляющихся на аэродроме в определенный час какого-то дня недели, К_i – число взлетно – посадочных полос, необходимых для самолетов в этот час.

Очевидно, К_i = N_i* В.

В таблице приведено количество самолетов на данный час работы аэропорта в каждый день недели.

Понедельник.

Из таблицы видно, что наибольшее число самолетов приземляется и взлетает с10 до 11 часов и с 22 до 23 часов.

К₁₀ = К₂₂ = 4 * 1/30 = 2/15

Вторник.

К₁₂ = К₂₂ = 5* 1/30 = 1/6

Среда.

К₁₆ = К₁₈ = 6* 1/30 = 1/5

Четверг

К₁₂ = 5* 1/30 = 1/6

Пятница.

К₂₂ = 6 * 1/30 = 1/5

Суббота.

К₁₈ = 5 * 1/30 = 1/6

Воскресенье.

К₁₀ = 7 * 1/30 = 7/30.

Итак, проанализировав число взлетающих и приземляющихся самолетов в каждый день недели, мы получили, что для безопасной деятельности аэропорта достаточно одной взлетно – посадочной полосы. И даже она не загружена в полной мере. В случае необходимости можно увеличить количество рейсов, высчитав предварительно по представленной модели достаточность имеющихся взлетных полос. Одной полосы достаточно для взлета и посадки не более тридцати самолетов в час.

Эту же модель можно применять при нахождении необходимого количества причалов в порту, количества касс в магазинах и др.

Но использование этой модели в системах массового обслуживания приводит к правильным результатам в том случае, когда объекты (пассажиры, самолеты, покупатели и т.д.) следуют через регулярные промежутки времени и на их обслуживание затрачивается во всех случаях одно и то же время.

Таким образом, у учащихся развивается правильное представление о роли математического моделирования в научном познании и в практике.

Литература

1. А.Г. Мордкович. Алгебра 7 кл.: В двух частях. Ч.1: Учебник для общеобразовательных учреждений – М.: Мнемозина, 2002.

2. Т.Л.Рыбакова, И.В.Суслова. Математика. – Ярославль: Академия развития, 1997.

3. С.П. Алексеев. Что такое, кто такой. – М.: Педагогика-Пресс, 1994.